コインのオモテウラ

ふと思ったんですが、コインの表と裏って表が出る確率も裏の出る確率も等しく1/2ですよね。屁理屈無しに単純に考えると。じゃぁ連続して表がでる期待値ってどれくらいなんだろうかと。例えば、

連続で表が出た回数×100円もらえますよというゲームを提供したとして、1回何円で提供したら親は得するのか?

ということなんですが。なんか数学の問題でありそうですよね。教科書とかに載ってたりするのかな?覚えてないけど。

ってことでちょっと計算してみます。間違ってたら誰か教えて。

 

とりあえず、簡単のために表が出た数×1円もらえることにします。

0回連続で表が出る(いきなり裏がでて終了する)確率は、「裏」だから、

\frac{1}{2}

1回連続で表が出る確率は、「表・裏」だから、

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =\frac{1}{2^2}

2回連続で表が出る確率は、「表・表・裏」だから、

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}

3回連続で表が出る確率は、「表・表・表・裏」だから、

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^4}

n回連続で表が出る確率は、「表・表・表…・表・裏」だから、

\frac{1}{2^{n+1}}

ですよね。ってことで、期待値ってこの確率にもらえる金額かけて、その総和を取ればいいはずだから、期待値Eは

E = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}

これって収束するんだろうか・・・?

ちょっといきなり無限大が出てくると僕にはレベルが高いので、まずは、

S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{2^{k+1}}

としてSnを考えてみます。

S_n = \frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}

を求めたいのですが、とりあえず、両辺1/2してみると

\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\frac{3}{2^5}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n+1}}+\frac{n}{2^{n+2}}

となるので、上記の2つの式の差分をとると、

\frac{1}{2}S_n =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{n}{2^{n+2}}

つまり、Snは、両辺に2をかけて、

S_n =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n+1}}

となりますね。ここで、

\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}

の部分は、初項1/2、公比1/2の等比数列なので、

S_n = 1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}

で、ここでn→∞で収束するかってことですよね?

明らかに1/2^n→0なので、最後のn/(2^(n+1))がどの値に収束するかなんですが…。んー、どうやるんだっけな?こんな時に頼りになるGoogle先生。どんな時でもGoogle先生は僕達に優しく教えてくれます。

どうやら二項定理を使えば解けるようですね。二項定理なんてやったかなぁ?ま、とりあえずやってみます。

n>=2の時、

2^n = (1+1)^n = 1 + {}_n C_1+{}_n C _2+\cdots+{}_n C _n

\geqq 1 + {}_n C_1+{}_n C _2

= 1+n+\frac{n(n-1)}{2} 

となる(nC2までで打ち切って不等号で整理する)。つまり、

\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2^n} \leqq\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{1+n+\frac{n(n-1)}{2}}

ここで右辺は、

\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{1+n+\frac{n(n-1)}{2}} =\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+1+\frac{n-1}{2}} = 0

なので、((n-1)/2→∞なので)

\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2^n} = 0

となる。よって、期待値Eは、

E = \lim\limits_{n\to\infty} S_n = 1 - 0 - \frac{1}{2} \times 0 = 1

となる。

ということで、統計的には

表の出た回数×100円あげるよっていうゲームをする場合、1回100よりも高い金額で提供すれば、親が儲かる

ってことですね。…でいいのかな??なんか自信ない。

 

ということで、自分でプログラム組んで確認してみました。

  • 10000人のお客さんにコインの表裏ゲームをしてもらう。
  • 裏が出たらその人はゲーム終了。
  • 表が出た数×100円がもらえる。

で、お客さんの平均取得金額を計算しました。作ったコードは下記(C++)

で、出てきた結果を下記にまとめてみます。とりあえず上記のプログラムを5回走らせて、結果を全て同じグラフに載せています。

graph

横軸がお客さんの数、縦軸がお客さんがゲットした平均取得金額です。横軸は対数グラフにしています。

これを見ると確かに100円に収束していってますねぇ。どうやら上記で求めた期待値100円は正しそうです。

一回150円くらいですれば、お客さんがのべ100人いればほぼ間違いなく利益が出そうです。10人だと損することもあるかも。上記は5回の結果なのでお客さんの数が少ない時のばらつきがどの程度になるかは不明です。

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